Bilim,Bilim ve Teknoloji

Matematiğin alt dallarını kesin bir biçimde ayırmak zordur. Belki de en kolay sınıflandırma, temelde içerik değil de daha çok motivasyon ve vurgu farkından kaynaklanan uygulamalı ve pür matematik şeklinde yapılan sınıflandırmadır. Pür matematik, matematiğin kendisi için yapılan matematiktir. Diğer bir deyişle “acaba bu ne işe yarayacak” kaygısı gütmeden yapılan matematik. Uygulamalı matematikse üretilen pür matematiği gerçek hayata uygulama zamanı geldiğinde yapılan matematiğin genel adıdır. 100′den fazla alt dalı olan matematiği, ki bu dalların sayısı her geçen vakit artmaktadır, içerik bakımından genel hatlarıyla sınıflandırdık. Burada sadece popüler olan birkaç ana dalı ele alabildik.

Matematiğin Temel Kuramları Mantık Kuramı İspat Kuramı Model kuramı Kategori kuramı Küme kuramı Özyineleme kuramı		Cebir Grup kuramı Halka kuramı Cisim Kuramı Lineer cebir Galois Kuramı Sayılar Kuramı Cebirsel Geometri Kombinatorik		Geometri Öklid geometrisi Hiperbolik Geometri Eliptik Geometri Metrik Geometri Projektif Geometri Çizge Kuramı Diferansiyel Geometri Fraktal Geometri
Uygulamalı Matematik Olasılık Kuramı İstatistik Matematiksel fizik Kısmi Dif. Denklemler Oyun Kuramı Sistem ve Kontrol Kuramı Yaklaşım Kuramı Matematiksel İktisat Seçim Kuramı Aktüerya Finansal Matematik Kriptografi		Topoloji Genel Topoloji Cebirsel Topoloji Geometrik Topoloji Düğüm Kuramı Diferansiyel Topoloji Nokta-küme Topolojisi		Analiz Reel Analiz Ölçüm Kuramı Kompleks Analiz Tensör ve Vektor Analizi Diferansiyel ve İntegral Denklemler Nümerik Analiz Fonksiyonel Analiz

Yazan :admin

KİM BU FİBONACCİ?

Pisalı Leonardo Fibonacci Rönesans öncesi Avrupa’nın en önde gelen Matematikçisidir. Fibonacci için, “Matematik’i Araplar’dan alıp, Avrupa’ya aktaran kişi” denilebilir.

Fibonacci ‘nin yaşamı hakkında matematik yazıları dışında pek az şey biliniyor. İlk ve en iyi bilinen kitabı Liber Abaci’nin yazıldığı 1202 tarihine bakılırsa, 1170 dolayında doğmuş olabileceği sanılıyor. Bu yönde pek kanıt olmamakla birlikte İtalya’nın Pisa kentinde doğmuş olması olasılığı var. Fibonacci henüz çocuk yaştayken, Pisa’lı bir tüccar olan babası Guglielmo , Pisalı tüccarların yaşadığı Bugia adlı Kuzey Afrika limanına Konsül olarak atanır. (Bu liman, şimdiki Bejaya’dır ve Cezayir’dedir.) Babası burada oğluna hesap öğretmesi için bir Arap hoca tutar. Fibonacci daha sonra Liber Abaci’de hocasından “Dokuz Hint Rakamının Sanatını” öğrenirken duyduğu mutluluğu anlatacaktır.

Fibonacci ‘nin Liber Abaci adlı kitabının yayınlandığı yıllarda, Hindu-Arap sayıları, Avrupa’da Harzemli Muhammed Bin Musa’nın eserlerinin çevirilerini okuyabilmiş bir kaç “aydın” dışında bilinmiyordu. Fibonacci , kitabında bu rakamları anlatmaya şöyle başlar: “Dokuz Hint Rakamı 9 8 7 6 5 4 3 2 1 dir . Bu dokuz rakama “0″ işaretinin de eklenmesiyle, her hangi bir sayı yazılabilir.”

Liber Abaci , 13.yy. Avrupasında büyük ilgi görür, çok sayıda kopya edilir ve kilisenin yasaklamasına karşın Arap sayıları İtalyan tüccarlar arasında yayılır. Kitap Kutsal Roma İmparatoru II. Frederick’in dikkatini çeker. Frederick bilime düşkün bir imparatordur. Bilim adamlarını korur. Bu nedenle kendisine Stupor Mudi (Dünya Harikası) denilmektedir. 1220 yılında Fibonacci huzura çağrılır. Frederick’in bilim adamlarından biri tarafından sınava çekilir. Sonunda Fibonacci göze girer. Yıllarca hem imparatorla, hem de imparatorun dostlarıyla yazışır. 1225 yılında yazdığı Liber Quadratornum’u (Kare Sayıların Kitabı) imparatora ithaf eder. ” Diyofantus Denklemleri”ne ayrılan bu kitap Fibonacci ‘nin baş yapıtıdır. Her ne kadar Liber Abaci’ye çok daha dar bir çevrenin ilgisini çekerse de kitap sayılar kuramına büyük katkı getirir.

1228′de Fibonacci, Liber Abaci’yi yeniden gözden geçirir ve kitabın bu ikinci yazılımını imparatorun baş bilimcisi Michael Socott’a ithaf eder. Bu tarihten 1240 yılına kadar Fibonacci hakkında hiç bir şey bilinmiyor. 1240′ta Pisa kenti kendisine kente yaptığı hizmetlerden dolayı “20 Pisa Lirası” yıllık bağlar. Bundan sonra Matematikçimiz ne kadar yaşadı, o da bilinmiyor.

Leonardo Fibonacci , Arap Matematik’ini kullanışlı Hindu-Arap sayılarını Batı’ya tanıtmakla çok büyük bir katkıda bulundu. Ancak ilginçtir, çağımız matematikçileri Fibonacci ‘nin adını. daha çok, Liber Abaci’de yer alan bir problemde ortaya çıkan bir sayı dizisi nedeniyle bilirler. Dolayısıyla Fibonacci ‘yi anlatan bir yazıda ” Fibonacci Sayıları”ndan ya da ” Fibonacci Dizisi”nden söz etmemek olmaz.Bu nedenle biz de bu bölümün geri kalan kesimini bu diziye ayıracağız …

PEKİ YA NEDİR BU FİBONACCİ DİZİSİ?

Liber Abaci’de yer alan problemin metni aşağı yukarı şöyle;

“Adamın biri, dört bir yanı duvarla çevrili yere bir çift tavşan koymuş. Her çift tavşanın bir ay içinde yeni bir çift tavşan peydahladığı, her yeni çiftin de erginleşmesi için bir ay gerektiği ve tavşanların ölmediği var sayılırsa, 100 ay sonunda dört duvarın arasında kaç çift tavşan olur?”

Fibonacci bu problemi kitabına biyoloji biliminde bir uygulama olsun diye ya da nüfus patlaması sorununa bir çözüm getirsin diye koymamıştır muhtemelen toplama alıştırması olarak düşünmüş bunu, besbelli. Biraz düşününce tavşan çiftlerinin aylara göre şöyle çoğalacağı ortaya çıkıyor:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…

Yani her ay sonundaki tavşan çifti sayısı o aydan hemen önceki iki aydaki sayıların toplamına eşit.

100 ayın sonunda ise 354.224.848.179.261.915.075 TANE TAVŞAN OLUŞUR….

FİBONACCİ DİZİSİ (BİRAZ DAHA CEBİRSEL)

*** Fibonacci Dizisi’nin özelliği şu; Fibonacci Dizisindeki bir terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir.

FİBONACCİ DİZİSİ’ni yazalım…

…………….1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144………….

Görüldüğü gibi bir terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir. Mesela;

1+1=2  2+3=5  3+5=8   5+8=13 8+13=21  13+21=34 ……… 89+144=233 gibi.

FİBONACCİ DİZİSİNİN GÖRÜLDÜĞÜ VE KULLANILDIĞI YERLER:

1) Ayçiçeği: Ayçiçeği’nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru taneler sayıldığında çıkan sayılar Fibonacci Dizisinin ardışık terimleridir.

2) Papatya Çiçeği: Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir Fibonacci Dizisi mevcuttur.

3) Fibonacci Dizisinin Fark Dizisi: Fibonacci Dizisindeki ardışık terimlerin farkıyla oluşan dizi de Fibonacci Dizisidir.

4) Ömer Hayyam veya Pascal veya Binom Üçgeni: Ömer Hayyam üçgenindeki tüm katsayılar veya terimler yazılıp çapraz toplamları alındığında Fibonacci Dizisi ortaya çıkar.

5) Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu taneler soldan sağa ve sağdan sola sayıldığında çıkan sayılar, Fibonacci Dizisi’nin ardışık terimleridir.

6) Tütün Bitkisi: Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir Fibonacci Dizisi söz konusudur; yani yaprakların diziliminde bu dizi mevcuttur. Bundan dolayı tütün bitkisi Güneş’ten en iyi şekilde güneş ışığı ve havadan en iyi şekilde Karbondioksit alarak Fotosentez’i mükemmel bir şekilde gerçekleştirir.

7) Eğrelti Otu: Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti Otu’nda da vardır.

MİMAR SİNAN: Mimar Sinan’ın da bir çok eserinde Fibonacci Dizisi görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri’nin minarelerinde bu dizi mevcuttur

9) Tavşan

Fibonacci sayıları olan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, … sayı larından ardışık olan iki sayının oranı altın oranı verir.

Bu da Fibonacci sayılarıyla altın oranın ilişkisini gösterir. Örneğin ;

1597:987= 1,6180344…

Bu ifade sonsuzda altın oranı verir.

Şimdi biz işin birazda matematik kısmıyla ilgilenelim ve çok basit olarak üçgenlerden bahsedelim.Biliyoruz ki;elimizdeki üç doğru parçasından bir üçgen yapabilmemiz için,bir doğru parçasının diğer iki doğrunun toplamından küçük,farkından büyük olmalı.(Üçgen eşitsizliği).Biraz dikkat ettiğimizde Fibonacci dizisindeki sayılarla üçgen olmadığını görebiliyoruz.Tabiki sezgisel olarak.

Fibonacci dizisini F B ile gösterelim.Her a,b,c€F B ve a,b,c F B dizisinde ardışık olsun. Ve farzedelim ki bu üçlü ile bir üçgen oluşturulabilsin.Şu halde c=a+b olur.Üçgen eşitsizliğini kullanalım:

c-a < b < c+a ve c=a+b olduğundan a+b-a < b < a+b+a › b < b < 2a+b bulunur ki bu bir çelişkidir.demek ki bu F B ardışığı olan a,b,c ile bir üçgen oluşturulamıyor.

Şimdi sorun şu: Acaba bu Fibonacci dizisinin bütün üçlü kombinasyonlarıyla bir üçgen oluşturulamadığını gösterebilir miyiz?

Yazan :admin

Hala çözülememiş problemlerin yanında, çözümleri neredeyse efsane olmuş problemler, teoremler; tarihleri, önemleri. Bu sayfalarda, çözümlerini vermeyeceğiz ama çözümlerinin getirdiği ilerlemeleri inceleyeceğiz.

Ünlü Problemler

Yeryüzünde henüz cevabını kimsenin bilmediği sorular var!

Goldbach Kestirimi
Asal Sayılardan Karışık
Mükemmel Sayı Sorusu
Palindromik Sayılar
Collatz Problemi
Riemann Hipotezi
Binyılın Problemleri

Goldbach Kestirimi

1742′de Goldbach, Euler’e yazdığı bir mektupta “2′den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir” önermesinin, ya doğru olduğunu ispatlamasını ya da bunu sağlamayan bir örnek göstererek yanlış olduğunu ispatlamasını istedi. Goldbach kestirimi olarak bilinen bu hipotezle asal sayılar dünyasına yeni bir heyecan geldi. Bu heyecan o gün bugündür tüm matematikseverleri sardı. Yine de henüz bir cevap bulunamadı.

Ayrıca, 2′den başlayarak her çift sayıya 3 sayısı (ki bu bir asal sayı) ekleyerek tek sayılar kümesi elde edilebildiğine göre (örneğin:5=2+3; 7=4+3; 9=6+3…) her çift sayı 2 asal sayının toplamı ise her tek sayı da üç asal sayının toplamıdır denilebilir. Bu ifade de zayıf (ya da tek) Goldbach kestirimi olarak bilinir. Henüz bunun da bir yanıtı yok.

Asal Sayılardan Karışık

Asal sayılara ilişkin pek çok bilgi henüz gün ışığına çıkmadı. Bunun yanı sıra ortaya atılmış ama ispatlanmamış pek çok da kestirim var. İşte bunlardan birkaçı:

* n² ve (n + 1)² arasında daima bir asal var mıdır?

* İkiz Asallar: İkiz asallar yani aralarındaki fark 2 olan asallar sonsuz tane midir?

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43). ..???

* Bugün hala sonsuz tane elemanı olduğu kesin olarak ispatlanmayan (ama öyle olduğu tahmin edilen) bir diğer küme de farkı 2n olan asal çiftlerinin oluşturduğu kümelerin hepsinin sonsuz tane eleman içerdiği sanısı.Bu kestirimi ortaya atarak problemi genel bir boyuta taşıyansa da Alphonse de Polignac (1849). Örneğin Kuzen asallar olarak bilinen aralarındaki fark 4 olan asal sayıların oluşturduğu küme sonsuz eleman içerir mi?

* (n² +1) formunda yazılabilen sonsuz tane asal var mıdır?

* Fermat Asalları: 17. yüzyılda amatör matematikçi ünvanı ile bilinen Fermat asal sayılar konusuna oldukça önemli katkılarda bulundu. Bu katkılar arasında doğru olduğunu iddia edip ispatlayamadığı kestirimler de vardı. Örneğin + 1 biçimindeki sayıların her n doğal sayısı için bir asal verdiğini iddia etti. Bu biçimdeki sayılara Fermat sayıları asal olanlara da Fermat asalları denir. Gerçekten de 5′e kadar tüm doğal sayılar için asal değer veren ifadenin yanlış olduğu ancak 100 yıldan fazla zaman sonra anlaşılabildi. n=5 için 2³² + 1 = 4294967297 sayısının 641 ile bölündüğünün farkına varansa Euler oldu. Bugün ispatı yapılması beklenen önermelerden bir diğeriyse “Fermat asalları sonlu tanedir” kestirimi. Bu ifadenin en güçlü gerekçesiyse şimdiye kadar sadece 5 tane Fermat asalının bulunmasıdır

*Mersenne Asalları: Fermat’ın sıkça fikir alışverişinde bulunduğu çağdaşı Mersenne 2ⁿ – 1 şeklindeki sayılar üzerinde çalışıyordu. Mersenne sayıları (M_n) adı verilen bu sayıların başlangıçta n asal olduğunda asal değer verdiği düşünüldü. Gerçekten de n=11′e kadar doğru çalışan fikir 11′de asal olmayan bir değer alınca bu düşüncenin de yanlış olduğu anlaşılabildi ama 2ⁿ – 1′in asal olması için n’nin asal olması gerektiği şartı doğrudur. Yine de matematikçiler bu sayıların peşini bırakmadı. Sonsuz tane olup olmadıkları hala merak edilen Mersenne sayılarından Aralık 2005 itibariyle 43.sü bulundu.

 

Mükemmel Sayı Sorusu

Mükemmel sayı kendisi haricindeki tüm çarpanlarının toplamı kendisini veren sayıdır. Örneğin 6 bir mükemmel sayıdır çünkü kendisi haricindeki çarpanları yani 1, 2 ve 3 toplanınca kendisini verir: 1 + 2 + 3 = 6. Diğer örneklerse 28, 496, 8128 şeklinde gidiyor. Şimdiye kadar hiç tek mükemmel bir sayıya rastlanmamış. Merak edilen böyle bir sayının varolup olmadığı. Eğer vardır diyorsanız bu sayıyı, saklandığı yerden bulup çıkarmalı, ya da olmadığını iddia ediyorsanız bunu ispatlamalısınız.

Palindromik Sayılar

Kapak, kütük, sus, yay, kepek kelimeleri ilginç bir ortak özellik ile dikkat çekiyor: düzden ve tersten okunduğunda aynı. Benzer bir yapıya sahip olan palindromik sayılar da düzden ve tersten okunduğunda aynı olan sayılardır:
1991, 10001, 12621, 79388397, 82954345928.

Bu alandaki açık soru ise şöyle:

Hem asal hem de palindromik olan sonsuz tane asal sayı bulunabilir mi?

Collatz Problemi

Önce bir pozitif tamsayı seçin. Bu sayıya yapılcak işlem şu:

Sayı tekse 3 katını alıp 1 ekleyin. Sayı çiftse 2′ye bölün.

Aynı işleme çıkan sayıya uygulayın. En sonunda elde edeceğiniz sayı1′dir.

Örneğin 8 sayısını ele alalım:

8-(2′ye böl)-4-(2′ye böl)-2-(2′ye böl)-1

5-(3 katını al 1 ekle)-16-8-4-2-1

Seçtiğiniz sayıya dikkat edin. Örnek olarak 27 sayısını seçtiyseniz 1 sayısını bulmanız için 112 basamak ilerlemeniz gerektiriyor. Tabi kaç basamak alacağı sayının büyük veya küçük olmasıyla ilgili değil. Sadece bu algoritmanın her zaman 1 cevabını verdiğini ispatlamanın peşinde koşmayın. Unutmayın ki sonunda 1 vermeyen bir sayı da varolabilir ve bu da, sorunun cevaplandığı anlamına gelir.

Riemann Hipotezi

Bilindiği gibi asal sayılar düzenli bir dağılıma sahip değiller. Alman matematikçi G.F.B. Riemann (1826 – 1866) asal sayıların dağılımlarının Riemann-Zeta adını verdiği bir fonksiyon ile çok yakından ilişkili olduğunu gözlemledi. Söz konusu olan fonksiyon şöyle:

Bu fonksiyon s’nin 1 dışındaki her kompleks sayı değeri için tanımlıdır.

Riemann Hipotezine göre bu fonksiyonun, (s) = 0 ifadesini sağlayan tüm önemsiz olmayan s değerleri, reel kısmı ½ olan düşey doğru üzerine düşer (bu doğruya kritik doğru deniyor). İlk 1 500 000 000 değer için bu doğruluk tespit edilmiş olsa da asıl istenen, söz konusu tüm değerler için doğru olduğunun ispatlanması. Bu sorunun başında 1 milyon dolar ödül konulduğunu unutmayın!

 

Binyılın Problemleri: 1 milyon dolar kazanmak isteyenlere!

1 milyon dolar, yani bugün yaklaşık 1,5 milyon YTL (1,5 trilyon TL) kazanmak ister misiniz? Bunun için yapmanız gereken tek şey, belirlenmiş 7 sorudan birinin doğru cevabını vermeniz lazım. Defter, kitap serbest; süre sınırlaması da yok! Cevabı ilk veren siz olun da isterseniz aradan 100 yıl geçsin. Dikkatli olun, çünkü sözkonusu sorular, yeryüzünde henüz yanıtını kimsenin bilmediği ve uzun yıllar boyu çözülmeye ısrarla direnen cinsten sorular. Aynı zamanda, cevabı bulanın da yaşam standartlarını değiştirecek sorular bunlar. İlginç olansa başarıya ulaşan insanlar, özellikle de matematikçiler, bu paranın hayalini kurdukları için değil matematik yapmayı sevdikleri ve bu alanda başarı istedikleri için kolları sıvıyorlar. Para, bu başarının sonunda gelen bir ödülden başka birşey değil, onlar için.

Cambridge Massachusetts ‘de kurulan Clay Matematik Enstitüsü, 24 Mayıs 2000′de çözülmekte inatçı, matematiğin farklı branşlarındaki 7 problemini Milenyum Problemleri olarak adlandırdığını ve her bir problemi ilk çözen kişiye 1′er milyon dolar vereceğini ilan etti. Bu soruları anlamak, bir parça matematik temeli gerektiriyor. Bu durum matematiğin, hızla büyümesinin ve lise eğitiminin onu yakalamaya yetmemesinin bir sonucu olabilir. Soruları anlamak için üniversitede matematik okumak şart değil elbette, sadece Fermat’ın son teoremini, Goldbach ya da ikiz asallar kestirimini anlamaktan daha fazla çaba sarfetmek lazım. Eğer Riemann Hipotezi, P, NP’ye karşı Hodge Kestirimi, Yang-mills Kuramı, Poincare Kestirimi, Navier Stokes denklemleri, Birch ve Swinnerton-Dyer Kestirimi başlıklı sorulardan birinin yanıtını bulduysanız bu organizsonu yapan Clay Matematik Enstitüsü’ne yollamadan önce uluslarası kabul gören hakemli bir dergide yayınlamanız gerekiyor. Daha ayrıntılı bilgi için www.claymath.org

*Clay Enstitüsü’nün belirlemiş olduğu bu 7 problemin 1 tanesi, Pointcaré Kestirimi 2006′da resmi olarak teoren-m haline geldi. Petersburg’daki Steklov Enstitüsü matematikçilerinden Grişa Perelman’ın 2002′de yayınladığı ispatın doğru olduğu resmen 2006 Dünya Matematikçiler Birliği’nin Madrid’teki kongresinde açıklandı. Diğer taraftan, Navier-Stokes Denklemleri’nin de 2006 içinde çözüldüğü duruldu. Ancak değerlendirmeler devam ediyor. Şu an için 1000 yılın promlemlerinden çözüm bekleyenlerin sayısı 5 taneye düşmüş gözüküyor.

Yazan :admin

Fizik ve Kimya’da bazı katsayılara, bazı sabitlere alışığız. Avagadro sayısını, ışığın hızını veri olarak kabul ediyoruz. Nereden geliyor bu sayılar demiyoruz. Ancak, matematiğin öyle deyip geçemeyeceğini de aklımızda tutalım. Pi sayısını ya da e sayısını düşünün. Ne kadar önemli sayılar. İyi de, bazı sayılar diğerlerinden niçin daha önemli. Hikayelerine, önemlerine etraflıca bakacağız.

SIFIR

Sıfır(0) Arapça şafira ya da şifr , Sanskritçe sünya, İngilizce zero(nil-null). Boş, hiç olan; ya da herhangi bir şey olmayan. Batı dillerindeki şifre sözcüğünün kökeni. Günümüz sayı sisteminin merkezine, hangi serüvenleri izleyerek gelip oturduğu aşağı yukarı biliniyor. Matematiğin tarihi,bu sayının, Hint kökenli olduğundan hemen hemen emin. Basamak yerine ilk kullanımı, çok eskilere gitmesine rağmen, bu günkü anlamdakine en yakın kullanımı, Hint matematikçi Brahmagupta‘nın Brahmasputha Siddhanta adlı eserinde anlatılmaktadır. MS 628 tarihini taşıyan bu eserinde Brahmagupta, sıfır ile dört işlemin kurallarını sıralar. Toplama, çıkarma ve çarpmada sorunsuz sıyrılan Brahmagupta, bölmede zorlanmaktadır. Şöyle diyor:
“-Herhangi bir pozitif ya da negatif sayının sıfır ile bölünmesi durumunda, sonuç paydasında sıfır bulunan bir kesirdir”.
“-Herhangi bir pozitif ya da negatif sayı tarafından bölünen sıfır, ya sıfırdır veya payında sıfır, paydasında bir sayı bulunan kesirdir.”
“-Sıfır bölü sıfır, sıfırdır.”
Daha sonraki yıllarda tanımsız olarak kabul edilen sıfırla bölme işlemi gerçekten hala kafalarımızı karıştırmaya devam ediyor. Halbuki sıfır’ın bir sayıyla bölünmesinde hiçbir sorun yok. Sıfır bölü sıfır ise sıfır değil; o da tanımsız.
Günümüzde kullandığımız sayı sistemine Hint-Arap sayı sistemi diyoruz. Ondalık basamaklı sayı sistemi, Hindistan’dan Arap yarımadasına, oradan da İslam İmparatorluğu’nun genişlemesine parelel olarak Kuzey Afrika ve Endülüs üzerinden Avrupa’ya ulaşmıştır. Kendisi Becaiye’de (Cezayir) yetişmiş olan ünlü matematikçi Fibonacci, 1202 de yayınladığı Liber Abaci adlı eserinde bu sistemi Avrupa’ya tanıtmıştır.
Sıfır’ın, ya da daha hoş yakıştırmayla ŞİFRE‘nin hikayesi bu kadar kısa değil elbet. Ayrıntıları merak ediyorsanız, www.mathforum.org sitesini ziyaret edebilirsiniz.
Herhangi bir sayının sıfırla çarpımı sıfır olduğu için, sıfırın yutan eleman görevi gördüğünü söylemişsiniz. Sanki kara delikmiş gibi. Oysa duruma şöyle bakalım:
3*2=2+2+2=6 olarak yazılabilir. Benzer şekilde m*0=0+0+…+0(m tane 0′ın toplamı)=0 olur. Burada anlaşılma kolaylığı için m’yi sonlu bir pozitif tam sayı olarak kabul edelim. Sıfır m’yi yutmuyor; m tane sıfır toplanınca sonuç sıfır çıkıyor. Ya da:
m*0=m*0+(m-m)=m*0+m*1-m=m(0+1)-m=m*1-m=m-m=0 m burada sonlu herhangi bir sayı.
Şifrenin şifresi: Yoktan yonga kopmaz

Pİ SAYISI:

Bir çemberin çapı 1 olduğunda, çevresi Pi’ye eşittir.

Pi nedir:

Matematikçi: “Pi, bir dairenin çevresinin çapına oranıdır.”
Bilgisayar Programcısı: “Pi 3,14159265389 dur”
Fizikçi: “3,14159artı eksi 0,000005′tir”
Mühendis: “Yaklaşık 22/7′dir”

Pi’yi Nasıl Hesaplarız

Tahmin edebileceğiniz gibi, artık sayısının hesaplamak için elimizde pek çok seçenek var. Örneğin,18 no’lu soruda trigonometri fonksiyonları kullanılarak bu hesabın nasıl yapılabileceği belirtilmiş. Orada: sin^-11=/2 ve cos^-10=/2 eşitliklerinin sol tarafları için Taylor serisi açılımı kullanılarak, ‘nin değerinin istenilen duyarlılıkla hesaplanabileceği gösterilmiş.
Ancak, sizin burada sorduğunuz sorunun, bu hesabın, daire ve çap ilişkisi kullanılarak nasıl yapılabileceğinin, ya da tarihsel olarak nasıl yapıldığının açıklanması olduğunu varsayıyorum.
Bir dairede, dairenin alanı ile çap arasında, ya da dairenin çemberi ile çap arasında sabit bir oranın var olduğu, ilk kimler tarafından ve ne zaman keşfedildi, bu kesin olarak bilinmiyor. Elimizdeki en eski kayıtta, M.Ö 1650 civarında Ahmes adlı Eski Mısır’lı bir katibin yazmış olduğu ve Rhind Papirüsü adı verilen belgede, şöyle deniliyor: “Çapın 1/9′unu kes ve kalanının üstüne bir kare çiz; bu alan dairenin alanının aynısıdır.” Burada, dairenin alanı ile çap arasında sabit bir oranın varlığı belirtilmiş olmakla birlikte, günümüzdeki anlamda bir ? sayısının varlığının bilincinde olunduğu kuşkulu. Bu öneri doğrultusunda elde edilecek olan sonuç, karenin kenarı x=8(2r)/9 olduğuna ve alanı x²=64.(4r²)/81 olacağına göre, bu alan dairenin alanına eşitlendiğinde, 256r²/81= r² veya =256/81=3,16005 olarak karşımıza çıkar. Fena bir yaklaştırma değil. Öte yandan, söz konusu karenin çevresi, L=4x=64r/9 olur. Bunu dairenin çevresine eşitleyecek olursak, L=2r eşitliğinden, 64r/9=2r veya =32/9=3,55555 elde ederiz. Bu yaklaştırma, alanların eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü. Eski Mısır’lıların bu hesabı yapıp yapmadıklarını bilmiyoruz, ancak kendimiz bu hesabı yaparsak =256/81 buluyoruz. Matematik tarihçileri arasında genel kanı, Eski Mısırlıların, çemberin uzunluğunun çapın uzunluğuna oranını 256/81=3,16049. olarak kabul ettikleri şeklindedir. Bu sayı, bugün 54 milyar basamağa kadar hesaplanmış olan jsayısının ilk 5 basamağının 3,14159 olduğunu hatırlarsak, sayısının değerinin hesaplanmasındaki hata oranının, daha M.Ö. 1650′lerde yüzde 1′in altına düşmüş olduğu anlamına geliyor. Eski Grek’ler döneminde, Anaksagoras (M.Ö. 500-428) ile başlayıp Antiphon ve Bryson ile devam eden çalışmalarda, bir çemberin içine çizilen eşit kenarlı çokgenlerin alanıyla sayısının hesaplanması çalışmaları başladı. Açalım:

Şekil’de yarıçapı r olan bir dairenin içine bir kare oturtulmuş. Bu kareyi, daireye bir yaklaştırma olarak düşünüyoruz. ABC üçgeni ikizkenar olduğundan, karenin yarım kenar uzunluğu a=r/2′dir. Bu durumda karenin çevresi L=8a=42r, alanı A=(2a)²=(2r)²=2r² olur. Karenin çevresini, dairenin çemberine eşitlersek, L=2r eşitliğinden, 42r=2r veya =22 elde ederiz. Bu yaklaştırma bize, =2,828427 verir. Halbuki, karenin alanını dairenin alanına eşitlediğimizde, A= r² eşitliğinden, 2r²= r², yani =2 elde ederiz. Bu yaklaştırma, çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü.

Şimdi yaklaştırmamızı bir adım daha ileri götürmek üzere, bu sefer dairenin içine, bir kare yerine, eşkenarlı bir sekizgen oturtalım. Alttaki 2 numaralı şekilde bu durum görülüyor. Eşkenarlı sekizgenin kareye göre fazlalık alanları sarı renkle tonlandırılmış. AD uzunluğu r’ye eşit ve a=r/2 olduğuna göre; BCD üçgeninin yüksekliğinin b=r-r/2 olması gerekir. BC kenarının uzunluğu a=r/2 olduğuna göre, BD kenarının uzunluğunun karesi a²+b² = r²/2+ (r²+ r²/2- 2r²/2)=2r²-2r²=(2-2)r² olur. O halde BD’nin uzunluğu |BD|=(2-2)½ r’dir. Sekizgenin çevresi bunun 8 katı, yani L=8.(2-2)½ r’ye eşittir. Bunu dairenin çevresine eşitlersek, L= L=2r eşitliğinden, 8.(2-2)½ r = 2r veya =4.(2-2)½ elde ederiz. Bu yaklaştırma bize, =3,06146 verir. Bir önceki yaklaştırmadan daha iyi.

Öte yandan, BCD üçgeninin alanı a.b/2= (r/2).(r-r/2)/2=r²/22- r²/4 olur. Sekizgenin alanını elde etmek için, karenin alanına bu üçgenlerden sekizinin alanını eklemek gerekir: A=(2a)²+8.(r²/22- r²/4)= 2r²+22r²- 2r²=22r². Bu alanı dairenin alanına eşitlersek, A= r² eşitliğinden, 22r²= r², yani =22=2,828427 elde ederiz. Görüldüğü gibi, bu yaklaştırma, çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü, ama kare ile elde edilen yaklaştırmalardan daha iyi bir sonuç. Demek ki, herhangi bir eşkenar çokgenle yaklaştırmada, çevrelerin eşitlenmesi, alanların eşitlenmesinden daha iyi sonuç veriyor gibi. Böyle bir genelleme yapmak mümkün. Bunun nedeni, çokgenlerin çevresinin dairenin çevresine, çokgenlerin alanlarının dairenin alanına yaklaştığından daha hızlı yaklaşıyor olması. Asıl ilginç olanı, sekizgenle yaklaştırmada alanların eşitlenmesiyle elde edilen sonuç, kare ile yaklaştırmada çevrelerin eşitlenmesiyle elde edilen sonucun aynısı. Bunun nedenini de siz düşünüp bulun.

Bir sonraki yaklaştırma aşamasına, dairenin içindeki eşkenar sekizgen, bir eşkenar onaltıgene genişletilerek geçilebilir.

Ancak. Eski Greklerin yaptığı buna benzer çalışmalarda söz konusu sabite, sayısı adı verilmiş değildi; yazılarda, çap ile çember uzunluğu arasında çarpan olan “o sabit sayı”dan bahsediliyordu. Düzgün çokgenlerle, köşe sayısını her adımda ikiye katlayarak, hızla daireye doğru yaklaşılabileceği ve düzgün çokgenin alanı hesaplanıp çapa bölünerek sayısının giderek daha da yüksek duyarlılıkla hesaplanabileceği yukarıdaki örneklerden de görüleceği üzere, açıktır. Ancak unutulmamalı ki, MÖ 4. yüzyıldan bahsediyoruz: Modern hesap araçlarının yokluğunu bir yana bırakın, büyük hesaplama kolaylığı getirmiş olan 10′lu Hind-Arap sayı sistemi dahi henüz ortalıkta yok.

Aşağıda bu hesaplamaların tarihçesini gösteren bir alıntı var. İlave edeceğimiz tek şey, sıra kendisine geldiğinde Arşimed’in, alanları hesaplamak yerine çevreyi kullanarak ‘yi hesaplama yöntemini seçmiş olmasıdır.

Sözü uzatmamak için şunu söyleyelim: Sizin sorduğunuz 3,14159… hassasiyetine ulaşanlar Çin’li Tsu Ch’ung-chih ve oğlu Tsu Keng-chih’dir. Çemberin içine tam 24 526 köşeli bir çokgen çizip hesabı yaptılar ve ‘nin değerini 355/113 olarak buldular. Belli ki, düzgün bir altıgenle başlayıp köşe sayısını art arda 12 kez ikiye katlamış olmalılar. Hesaplamadaki yaklaşımın duyarlılık düzeyini görüyorsunuz.

Evet, örneğin bir konserve kutusu alarak çevresini ve çapını ölçüp oranlarsak, ‘ye yakın bir sayı buluruz. Tarihsel yöntem bu idi. Ancak günümüzde ‘nin değeri çok sayıda farklı yöntem ile hesaplanmakta olup, daha öncede belirttiğimiz gibi 54 milyar basamaktan daha büyük bir duyarlılıkla hesaplanmış durumda.

Bu arada, “o sabit sayı”ya adını, 1650′lerden itibaren birkaç kez kullanıldığı görünmekle birlikte, standard kullanım haline gelmesi, 1737′de Euler’in ‘yi benimsemesinden sonra olmuştur.
pi kronolojisi

Doğum Gününüz Pi’de Gizli
Bilindiği gibi Pi, sonsuz bir rakamlar dizisi. Belirli bir düzende kendisini tekrarlamayan sonlu bir çok alt dizilerden oluşur. Bu sonlu alt dizilerin kümesi, hemen tahmin edebileceğiniz üzere, sonsuz eleman taşımakla kalmaz, aynı zamanda muhtemel bütün sonlu alt dizileri de içinde taşır. Bu özelliği nedeniyle de sizin ya da sevgilinizin doğum gününü ggaayy veya ggaayyyy gibi bir dizin olarak yazdığınızda, bunun pi’nin içinde olduğundan emin olabilirsiniz. Şanslı iseniz doğum gününüzün dizisi pi’nin halen bilinen basamakları arasındadır. Şüphesiz doğum gününüzü 6 haneli bir dizi olarak yazarsanız bulma şansınız artar. Eğer Pi’nin hangi basamaklarına gizlenmiş olduğunuzu merak ediyorsanız http://www.angio.net/pi/piquery sitesini bir ziyaret edin!

Aynı şekilde, istediğiniz başka dizileri pi’nin içinde arama şansınız var. Ancak unutmayalım ki, Pi’nin bilinen basamakları 1.2 trilyon civarında ama bunları ağ üzerinde tutmak çok fazla yer tuttuğundan, bulmak kolay değil.
http://www.super-computing.org/pi-decimal_current.html adresinde ilginç gözlemler bulabilirsiniz. Örneğin
ilk 1 milyon basamak içinde, birçok şeyin yanında, şunlar gözlenebiliyor:
0123 – 102 kere
01234 – 8 kere
012345 – 2 kere
0123456-0 kere .

35 Basamak İçin Bir Ömür:
Alman matematikçi Ludolph Van Ceulen’e (1540-1610).
Ömrünü Pi sayısının basamaklarını hesaplamaya adamış Alman matematikçi, 35. haneyi de hesapladıktan sonra, daha yayınlanışını görmeden yaşama veda etti. Mezar taşına pi’nin ilk 35 hanesi yazılıdır. Almanya’da pi sayısına Ludophine sayısı denirdi. Şimdi, 1.2 trilyondan fazla basamağın bilindiği düşünülürse…

Yaşamın Anlamı(42) ve Pi
(Scott Glazer’dan aktarma): ‘Arayacak önemli bir sayı bulmaya çabalarken, aklıma 42 geldi. (yaşamın, evrenin, ve Otostopçunun Galaksi Rehberi’ndeki her şeyin yanıtı) 42 doğallıkla çok sıradan olacağı için, ben de 424242′yi seçtim. Ve gördüm kü, bu sayı 242423′cü hanede kendini gösteriyor. Biraz zorlama olacak ama, bir basamak da ondalık virgülü için ekleyelim,al sana 242424; ilk sayımızın tersi. Evet işte bu anlamlı bir sonuç.’

En Popüler Sayılar:
1999-2005 yılları arasında Pi’nin içinde en çok aranan yani en popüler dizi ne idi acaba?
http://www.angio.net/pi/piquery sitesine bu tarihler arasında en fazla 5373 dizisinin yerini bulmak için başvuruldu. 131576 arama ile ikinci 10 dizisinin neredeyse iki katı sayıda arama aldı. Nedeni meçhul.

Kapalı Halka:
Pi’nin sonlu alt dizilerinin ilginçlikleriyle uğraşırken, Dan Skorski, şöyle bir halka keşfetmiş: 169 dizisini aradığında 40. pozisyonda bulmuş. 40′ı 70.’de, 70′i 96.’da ve böylece devam etmiş. Sonuç şöyle: 169, 40, 70, 96, 180, 3664, 24717, 15492, 84198, 65489, 3725, 16974, 41702, 3788, 5757, 1958, 14609, 62892, 44745, 9385, 169, 40… Bir kapalı halka.
20 sayıdan oluşan bir döngü. Buna bezer döngüler başka var mı acaba?

Yerinde Oturanlar:
3 ve virgülü saymazsak, acaba hangi diziler, pi içinde kendi pozisyonlarında oturuyorlar? İlk sayı, yani1 kendi pozisyonunu dolduruyor. Hemen görebiliriz. İlk 100 milyon basamak içinde yerinde oturan sonlu sayı dizileri şunlar:1, 16470, 44899, 79873884.

Pizza:
Pi günü hazırlıklarımızı yaparken, çok acıkmıştık. Pizza ısmarladık. Arkadaşım Korsan pizzanın çapını ve kalınlığını ölçtü ve her birimizin eşit yemesini sağlamak için hacmini hesapladı. Bu ölçülere göre yarıçap z ve kalınlık a olduğuna göre, yediğimiz pizzanın hacmi neydi?

Yazan :admin